" How are you to proceed then to give meaning to the most primitive [logical] notions that you are dealing with? I think the answer is that you must enter on something completely different from modeling or translation, depending on whether you look at it model theoretically or proof theoretically: you must enter on a genuinely semantical or meaning theoretical investigation, which means that you must enter on something that you are not at all prepared for as a mathematical logician, whether model theorist or proof theorist: you must enter on an enterprise which is essentially philosophical or phenomenological, if you prefer, in nature. "
Per Martin-Löf Truth of a proposition, evidence of a judgement, validity of a proof (1987)
DS - Vous ne croyez pas à ce rôle des philosophes dans le déclanchement de la Révolution ?
ET - Non, je pense que ce sont les paysans du bassin parisien qui ont choisi l'idéologie qui leur plaisait.
DS - Vous voulez dire que ce sont les structures familiales du lieu et du moment qui ont produit 1789 ? Et qui ont même produit Voltaire et Montesquieu ?
ET - Oui. Je sais que tous les intellectuels sont furibards de voir leur activité réduite à la modeste mise en forme de mentalités qui leur préexistent. Et cette analyse a été considérée qu départ comme une insulte à la liberté humaine. Mais j'assume.
Emmanuel Todd (entretien avec D. Schneidermann) Allah n'y est pour rien (2011)
" C'est l'objectivité proprement scientifique qui fut et demeure un phénomène rare : la science en tant que telle n'a émergée qu'à un moment tardif de l'histoire occidentale, dans des conditions très singulières, et elle ne couvre qu'une partie du champ de la connaissance. L'objectivité scientifique est d'un autre niveau que celui des connaissances objectives : elle ne vient pas seulement de la vérification systématique des hypothèses et du contrôle rigoureux des données et relations établies entre les données. Elle vient de la relation consubstantielle entre théories scientifiques et données/relations objectives. Les théories scientifiques sont telles parce qu'elles ne veulent rendre compte, par des moyens logiques, que des données, faits et relations objectivées ou objectivables. Ici s'opère la démarcation décisive entre théories scientifiques et mythes, croyances, philosophies, jugements de valeurs. Cela ne signifie nullement, comme on l'a longtemps cru, que les théories scientifiques soient objectives ; cela signifie qu'elles se fondent et s'appliquent sur des données/relations objectives, alors que les autres systèmes d'idées se fondent sur des intuitions, révélations, options non réfutables/vérifiables ; ces intuitions ou options existent certes dans l'esprit des scientifiques et au noyau de leurs théories mais l'objectivité, elle, est dans le substrat de leur théories. "
Edgar Morin, La Méthode 4. Les idées (1991)
" La quête éperdue de convergences entre art(s) et science(s) repose sur une conviction vite transformée en argument : il y aurait du Beau dans la science, ce qui la rapprocherait ipso facto de l'art. [...] Mais cette vision idéale peut-elle avoir une valeur universelle ? N'est-il pas frappant qu'elle ne soit exprimée, à l'instar de presque toutes les citations précédentes, que par des mathématiciens et des physiciens ? [...] N'y a-t-il pas quelque paradoxe à voir physiciens et mathématiciens proclamer la beauté de leurs équations et tenter d'en convaincre les profanes, lors même que le contenu de leurs théories et la signification des formules qui les expriment restent largement ésotériques ? [...] Qu'en conclure, sinon que cette idée classique de la beauté scientifique, aussi noble soit-elle et sans doute féconde ou à tout le moins rassurante pour certains esprits, est d'un fondement assez fragile et d'une portée plutôt limitée... [...]
Mais le sentiment d'une beauté propre à la science est trop répandu pour que l'on se contente de le disqualifier sans appel. Il existe peut-être une troisième voie qui permettrait de lui donner sens à partir de la pratique effective du travail scientifique. Si l'on récuse l'idée élitiste d'une beauté abstraite, idéale et idéelle, si l'on refuse la conception médiatique d'une beauté spectaculaire et aguicheuse, reste l'hypothèse d'une beauté artisanale modeste. On trouverait dans la science, comme dans la plupart des activités humaines, une esthétique de l'adéquation entre formes et fonctions. Les outils intellectuels seraient ainsi semblables aux outils manuels, façonnés par un long usage et qui trouvent, sinon la perfection, du moins un équilibre harmonieux pleinement gratifiant dans leur adaptation aux usages qui sont les leurs. "
Jean-Marc Lévy-Leblond, Les beautés de la science, Alliage n°63 (2008)
" INCERTITUDES, CERTITUDES ET CROYANCES. [...] On ne peut s'empêcher de croire. On ne peut s'empêcher de douter.
Mais nous ne devons croire désormais qu'en des croyances comportant le doute dans leur principe même.
LE DÉFI. L'humanité a toujours connu l'interrogation et le doute, mais elle a toujours vécu avec des certitudes et une idée non biodégradable de la vérité. Elle a toujours eu besoin de construire des pyramides d'absolu sur les gouffres de la mort. Les idéologies de certitudes, en nous protégeant du désespoir, n'ont-elle pas valeur de survie plus fondamentale que les effets mortels de leur fanatismes ? Le temple, la pyramide, la promesse, ne sont-ils pas des remèdes vitaux, des antithanatiques nécessaires contre l'angoisse insupportable de l'incertitude et la béance insensée du néant ? Cette folie-là n'est-elle pas indispensable pour supporter la vie ? Notre ancêtre sapiens/demens n'avait-il pas fort raisonnablement compris qu'il ne pourrait vivre qu'enveloppé et protégé par des mythes déments ?
Ou bien l'humanité pourrait-elle, à partir précisément de sa propension au doute et de son besoin de croyance, sécréter, entretenir, développer une autre pensée, capable d'associer doute/croyance, incertitude/certitude, et pourrait-elle vivre, convivre, se nourrir de cette pensée ? je crois en cette possibilité : voilà mon credo. "
Edgar Morin, Pour sortir du xxè siècle, ch. II, §3 (1981)
" ULTIME STRATAGÈME. Si l'on s'aperçoit que l'adversaire est supérieur et qu'on ne va pas gagner, il faut tenir des propos désobligeants, blessants et grossiers. [...] Ce serait une grave erreur de penser qu'il suffit de ne pas être soi-même désobligeant. Car en démontrant tranquillement à quelqu'un qu'il a tort et que par voie de conséquence, il juge et pense de travers [...] on l'ulcère encore plus que par des paroles grossières et blessantes. Pourquoi ? parce que, comme dit Hobbes : [...] toute volupté de l'esprit, toute bonne humeur vient de ce qu'on a des gens en comparaison desquels on puisse avoir un haute estime de soi-même. Rien n'égale pour l'homme le fait de satisfaire sa vanité, et aucune blessure n'est plus douloureuse que de la voir blessée. " (1)
" Quand on veut reprendre avec utilité, et montrer à un autre qu'il se trompe, il faut observer par quel côté il envisage la chose, car elle vraie ordinairement de ce côté là, et lui avouer cette vérité, mais lui découvrir le côté par où elle est fausse. Il se contente de cela, car il voit qu'il ne se trompait pas, et qu'il manquait seulement à voir tous les côtés ; or, on ne se fâche pas de ne pas tout voir, mais on ne veut pas s'être trompé ; et peut-être que cela vient de ce que l'homme ne peut naturellement tout voir, et de ce que naturellement il ne peut se tromper dans le côté qu'il envisage ; comme les appréhensions des sens sont toujours vraies. " (2)
(1) Arthur Schopenhauer, L'Art d'avoir toujours raison (~1830).
(2) Blaise Pascal, Pensées (1670).
" Mais plus encore que vers la découverte de questions, de notions et dénoncés nouveaux, cest vers celle de points de vue féconds, me conduisant constamment à introduire, et à développer peu ou prou, des thèmes entièrement nouveaux, que me porte mon génie particulier. Cest là, il me semble, ce que jai apporté de plus essentiel à la mathématique de mon temps. A vrai dire, ces innombrables questions, notions, énoncés dont je viens de parler, ne prennent pour moi un sens quà la lumière dun tel "point de vue" -- vu pour mieux dire, ils en naissent spontanément, avec la force de lévidence ; à la même façon quune lumière (même diffuse) qui surgit dans la nuit noire, semble faire naître du néant ces contours plus ou moins flous ou nets quelle nous révèle soudain. Sans cette lumière qui les unit dans un faisceau commun, les dix ou cent ou mille questions, notions, énoncés apparaîtraient comme un monceau hétéroclite et amorphe de "gadgets mentaux", isolés les uns des autres -- et non comme les parties dun Tout qui, pour rester peut-être invisible, se dérobant encore dans les replis de la nuit, nen est pas moins clairement pressenti.
Le point de vue fécond est celui qui nous révèle, comme autant de parties vivantes dun même Tout qui les englobe et leur donne un sens, ces questions brûlantes que nul ne sentait, et (comme en réponse peut-être à ces questions) ces notions tellement naturelles que personne pourtant navait songé à dégager, et ces énoncés enfin qui semblent couler de source, et que personne certes ne risquait de poser, aussi longtemps que les questions qui les ont suscités, et les notions qui permettent de les formuler, nétaient pas apparues encore. Plus encore que ce quon appelle les "théorèmes-clef" en mathématique, ce sont les points de vue féconds qui sont, dans notre art, les plus puissants outils de découverte -- ou plutôt, ce ne sont pas des outils, mais ce sont les yeux même du chercheur qui, passionnément, veut connaître la nature des choses mathématiques. "
Alexandre Grothendieck, Récoltes et semailles (1986).
" La tentation de donner un peu de force politique à des idées vraies est particulièrement difficile est risquée dans un jeu où les puissants ont tendance à mimer la vérité et à essayer de donner aux croyances et aux principes de vision et divisions qu'ils s'efforcent d'imposer, en matière d'économie notamment, les apparences d'un label de vérité, d'une garantie scientifique. Il ne cessent de dire 'la science est avec nous', les prix Nobel sont avec nous, comme en d'autres temps on menait des guerres en criant 'dieu est avec nous' ; et ils demandent au bon peuple de s'en remettre au plus compétents, à ceux qui savent mieux, qui revendiquent le monopole de la manipulation des biens de salut politique, le monopole de la définition du bon et du bien politiques au nom du monopole de la compétence et de la vérité.
À ce coup de force qui s'exerce au nom de la science, mais avec tous les moyens que donne le pouvoir économique, on est en droit (et peut-être en devoir) de s'opposer au nom même de la science mais sans pouvoir compter sur d'autres armes que celles que donnent la connaissance du monde social tel qu'il est et surtout, peut-être, la connaissance du double-jeu qui est constitutif du monde politique où la force est à la fois arme et enjeu et où il faut néanmoins, pour se renforcer, se donner l'air de prendre en compte et en considération la vérité. C'est parce que cet hommage obligé à la vertu scientifique est inscrit dans la logique même du microcosme politique que la science -- et en particulier la science du jeu politique -- n'est pas tout à fait dépourvue de force politique, au moins de force critique, négative. "
Pierre Bourdieu, Propos sur le champ politique (2000).
" La magie ignore la longue chaîne des causes et des effets, et, surtout, ne se soucie pas d'établir, par de multiples contrôles, s'il y a un rapport entre cause et effet. D'où la fascination qu'elle exerce, des sociétés primitives à notre radieuse Renaissance, et plus tard, jusqu'à la pléiade de sectes d'occultisme présente sur Internet.
La confiance, l'espérance en la magie ne s'est absolument pas dissoute avec l'arrivée de la science expérimentale. Le désir de simultanéité entre cause et effet s'est transféré dans la technologie. [...]
Il revient à l'école et à toutes les initiatives qui peuvent la remplacer, y compris les sites internets fiables, d'éduquer lentement les jeunes à une juste compréhension des processus scientifiques. [...] Une des missions de l'homme de science, en plus de la recherche sévère, est aussi la vulgarisation éclairée. Nous savons fort bien que dans notre pays plus qu'ailleurs le savant juge parfois qu'il n'est pas valorisant de se consacrer à la vulgarisation, alors qu'Einstein, Heisenberg, jusqu'à l'ami Stephen Jay Gould, qui nous a récemment quittés, ont été des maîtres de la vulgarisation. Et pourtant, si l'on doit imposer une image non magique de la science, nous ne devons pas l'attendre des mass media ; ce sont les hommes de science eux-mêmes qui devront la construire peu à peu dans la conscience collective, en commençant par les plus jeunes.
La conclusion polémique de mon intervention est que le prestige dont jouit aujourd'hui le savant est fondé sur de mauvaises raisons et est, en tout cas, contaminé par l'influence conjuguée des deux formes de magies, traditionnelle et technologique, qui fascinent encore l'esprit du plus grand nombre. "
Umberto Eco, Science, technologie et magie (2002). [traduction de Pierre Laroche dans À reculons, comme une écrevisse (2006).]
" The same development which leads to a new literature where novels do not need to have a plot, to an abstract music, sometimes written by a computer, to abstract sculpture and painting, which do not intend to give an ordinary representation of real objects, this same development toward abstraction leads to a kind of mathematics much less motivated by possible applications than by a profound desire to find in each problem the very essence of it, the general structure on which it depends. "
Charles Ehresmann, Trends toward unity in Mathematics (1966).
" La logique catégorique a pour centre le fait que la compréhension mathématique se situe exactement au moment où l'on transforme du singulier en de l'universel [...]. Concrètement, dans l'étude de la logique d'une catégorie C, cette idée exprimée par Leray que 'le progrès scientifique vient peut-être de notre faculté d'oublier les connaissances superflues' est mise en oeuvre dans l'oubli organisé de ce qu'on sait des objets de C, dans la mise en place de processus d'extériorisation de ce qui fut donné d'abord de l'intérieur. "
René Guitart, Qu'est-ce que la logique dans une catégorie (1982).
" La mission des scientifiques est d'approvisionner notre fond commun de connaissances ; c'est pourquoi ils passent leur vie à se confronter à des choses qu'ils en comprennent pas. Et les chercheurs qui travaillent sur les fondements d'un domaine de connaissance ont la lucidité de reconnaître que les blocs fondamentaux sur lesquels repose toute leur construction ne sont jamais aussi solides que ce que croient habituellement leurs collègues. "
Lee Smolin, Rien ne va plus en physique ! [The trouble with physics - the rise of string theory, the fall of a science, and what comes next, (2006) french translation by Alexeï Grinbaum.]
" En physique, objectivité et intersubjectivité s'identifient : c'est le principe de 'relativité' cher à Einstein. Étant donné un phénomène (P), on s'efforce de paramétrer toutes les visions de (P) que peuvent en avoir l'ensemble des observateurs virtuels de (P); en ce cas, cet ensemble est un ensemble de repères, donc en fait un espace très régulier, groupe de Lie ou espace homogène U. [...] En matière de sciences humaines, on pourrait s'efforcer de construire un espace U analogue mais il y aurait alors des lieux de cet espace où la vision subirait des discontinuités drastiques. [...] Il me semble cependant clair que cette paramétrisation des 'espaces d'intersubjectivité' est un des buts fondamentaux de la science. " (1)
" La vérité [en sciences sociales] c'est la relativité généralisée des points de vue, mis à part celui qui les constitue en tant que tels en constituant l'espace des points de vue. [...] La particularité des sciences sociales [impose au sociologue] de travailler à construire une vérité scientifique capable d'intégrer la vision de l'observateur et la vérité de la vision pratique de l'agent comme point de vue qui s'ignore comme tel et s'éprouve dans l'illusion de l'absolu. " (2)
" Autrement dit comme le dit encore Souriau : 'il n'y a rien de plus dans les théories physiques que les groupes de symétries si ce n'est la construction mathématique qui permet de dire qu'il n'y a rien de plus'. [...] Les symétries [(notamment les changements de référentiels)] imposent une auto-limitation à ce que la théorie peut connaître et dire qu'elles sont constitutives [de l'objectivité physique] c'est dire que ce que la théorie peut connaître est déterminée par ce que la théorie ne peut pas connaître. Il s'agit là du principe de base qui disjoint l'objectivité physique de toute ontologie. " (3)
(1) René Thom, préface à Morphogenèse du sens (J. Petitot, 1985),
(2) Pierre Bourdieu, conclusion de Science de la science et réflexivité (2001),
(3) Jean Petitot, conclusion de Objectivité faible et philosophie transcendantale (1996).
" Quiconque accède à la contemplation se change en semence. Quiconque découvre une évidence tire chacun par la manche pour la lui montrer. Quiconque invente prêche aussitôt son invention. Je ne sais comment un [lieutenant] Hochedé s'exprimera ou agira. Mais peu m'importe. Il répandra sa foi tranquille autour de lui. J'entrevois mieux le principe des victoires : celui-là qui s'assure d'un poste de sacristain ou de chaisière dans la cathédrale bâtie, est déjà vaincu. Mais quiconque porte dans son coeur une cathédrale à bâtir, est déjà vainqueur. La victoire est le fruit de l'amour. L'amour reconnaît seul le visage à pétrir. L'amour seul gouverne vers lui. L'intelligence ne vaut qu'au service de l'amour.
[...]
Que faut-il faire ? Ceci. Ou le contraire. Ou autre chose. Il n'est point de déterminisme de l'avenir. Que faut-il être ? Voilà bien la question essentielle car l'esprit seul fertilise l'intelligence. Il l'engrosse de l'oeuvre à venir. L'intelligence la conduira à terme. Que doit faire l'homme pour créer le premier navire ? La formule est bien trop compliquée. Ce navire naîtra, en fin de compte, de mille tatônnements contradictoires. Mais cet homme, que doit-il être ? Ici je tiens la création par sa racine. Il doit être marchand ou soldat, car alors, nécessairement, par amour des terres lointaines, il suscitera les techniciens, drainera les ouvriers, et lancera, un jour, son navire ! "
Antoine de Saint-Exupéry, ch. xxiv de Pilote de guerre (1942).
" How does it happen that a properly endowed natural scientist comes to concern himself with epistemology? Is there not some more valuable work to be done in his specialty? That's what I hear many of my colleagues ask, and I sense it from many more. But I cannot share this sentiment. When I think about the ablest students whom I have encountered in my teaching - that is, those who distinguish themselves by their independence of judgment and not just their quick-wittedness - I can affirm that they had a vigorous interest in epistemology. They happily began discussions about the goals and methods of science, and they showed unequivocally, through tenacious defense of their views, that the subject seemed important to them. "
Albert Einstein, Obituary for physicist and philosopher Ernst Mach (1916).
" Très souvent, la difficulté [des mathématiques] se trouve dans une sorte de déchiffrage: il s'agit de comprendre ce qu'il y a au-delà d'une certaine écriture qui est purement algébrique alors qu'en fait le contenu est géométrique. Et le contenu géométrique est totalement absent lors du développement algébrique alors que dans la tête de l'auteur il était présent, ou encore il y a des développements heuristiques qui ne sont pas donnés, les méthodes heuristiques sont très très importantes. Il y a des choses bizarres comme ça, il y a des résultats mathématiques qui ont un sens extrêmement simple et le sens est comme perdu. [...] c'est un aspect qui est perdu un peu à cause de la culture actuelle. C'est quand même une culture qui dure depuis assez longtemps. Je ne sais pas comment, mais ça pourrait changer, ça pourrait être autrement. Les connaissances sont accessibles surtout aux spécialistes, il n'y a pas d'effort de synthèse, il n'y a pas d'effort de véritable vulgarisation. "
André Joyal, extrait d'une interview par Jacques Nimier (1989).
" [The scientific life of mathematicians] often begins by an act of rebellion with respect to existing dogmatic description of that reality that one will find in existing books. The young 'to be mathematician' realize in their own mind that their perception of the mathematical world captures some features which do not quite fit with the existing dogma. This first act is often due in most cases to ignorance but it allows one to free oneself from the reverence to authority by relying on one's intuition provided it backed by actual proofs. "
Alain Connes, A view of mathematics.
" Quand j'ai reconstruit mathématiquement un petit domaine de réalité, où est l'ontologie de l'objet ? Si je dis : y'a de l'ontologie, alors ça veut dire que les mathématiques sont fidèles à la réalité ontologique, y'a une réalité indépendante. Mais alors ça ça veut dire que les mathématiques devraient être elles-mêmes objectives dans un sens ontologique, donc je suis obligé d'être platonicien. Mais je peux pas être platonicien, alors si je peux pas être platonicien, comment les mathématiques peuvent reconstruire une réalité qui n'existe pas ? Mais alors là je vais quand même pas devenir sollipsiste...
Immédiatement on rentre ainsi dans un ensemble de problèmes qu'on ne rencontre pas du tout quand on utilise les points de vues empiristes-nominalistes, où on dit qu'il y a de la réalité, et nous on se borne à organiser conceptuellement. Mais organiser conceptuellement c'est infiniment plus pauvre que de reconstruire algorithmiquement.
Donc il faut disposer, si on veut faire de la philosophie, d'approches philosophiques spécifiquement adaptées à ce problème, et la philosophie transcendantale selon moi, reste le prototype de ce type de philosophie ; elle a été inventé pour ça. [...] Le transcendantalisme est un point de vue qui met en avant la problématique de la constitution des objectivités, c'est-à-dire qu'il essaie de comprendre pourquoi les sciences peuvent être objectives en ayant rigoureusement aucun contenu ontologique. [...] La philosophie transcendantale, c'est ce que devient la métaphysique quand la physique a métaphysiquement raison. "
Jean Petitot, Sur les approches transcendantales de la physique mathématique, exposé au séminaire de philosophie et mathématiques de l'ENS (2004).
" L'expérience montre que presque invariablement alors qu'ils [les gens intéressés par la science] lisent ou entendent avec plaisir des exposés sur les sciences de la nature, et ont l'impression d'en retirer des informations qui enrichissent leur vue de monde, un article sur les mathématiques actuelles leur semble écrit dans un jargon incompréhensible et traiter de notions trop abstraites pour avoir le moindre intérêt. [...] C'est la nature même de ce "bagage minimum" qui est à la source des difficultés de compréhension des mathématiques actuelles. Rien de ce qui est enseigné au lycée en mathématiques n'a été découvert après 1800. "
Jean Dieudonné, introduction à Pour l'honneur de l'esprit humain (1987).
" Mais je ne suis pas sûr que dans un univers où tous les phénomènes seraient régis par un schéma mathématiquement cohérent, mais dépourvu de contenu imagé, l'esprit humain serait peinement satisfait. Ne serait-on pas alors en pleine magie ? Dépourvu de toute possibilité d'intellection, c'est-à-dire d'interpréter géométriquement le schéma donné, ou l'homme cherchera à se créer malgré tout par des images appropriées une justification intuitive au schéma donné, ou sombrera dans une incompréhension résignée que l'habitude transformera en indifférence. "
René Thom, Stabilité structurelle et morphogenèse (1984).
" Ce que Lévi-Strauss a appelé la 'pensée sauvage', et qu'on peut aussi appeler la pensée magique, n'a jamais disparu de nos cultures supposées modernes et rationnelles, probablement parce qu'il s'agit d'un mode de raisonnement inhérent à la condition humaine. La pensée dite rationnelle, n'a rien de naturel, c'est une construction, une ascèse, un exercice qui demande un travail continuel. "
Michel de Pracontal, L'imposture scientifique en dix leçons (1997).
" Kant m'apprit qu'il n'y a point de nombres, et qu'il faut faire les nombres chaque fois qu'il faut les penser. "
Alain, cité par André Warusfel dans Les nombres et leurs mystères (1961).
" Ce qui se trouve en arrière des projets de fondements, c'est en réalité le souci ontologique lancinant pour certains esprits qui, admettant sans critique suffisante la notion d' "objets mathématiques", cherchent désespérément d'où ils viennent, s'ils sont du Ciel ou de la Terre, et peu enclins à la première hypothèse, se demandent si les sciences modernes de la nature ne sont pas enfin à la veille, en élucidant les processus du cerveau comme machine naturelle, de naturaliser ses productions, et notamment les mathématiques. Mais, nous le savons, la question de l'ontologie convenant aux mathématiques est une question vide. "
Maurice Caveing, Le problème des objets dans la pensée mathématique (2004).
" Finalement nous arrivons au paradis des mathématiciens ; ce sont ces problèmes qui, à force de réflexion, ont engendré des idées nouvelles qui, souvent, dépassent de façon incommensurable le problème qui leur a donné naissance. Non seulement il s'agit de méthodes, d'astuces de plus en plus raffinées, mais, nous, mathématiciens, nous avons l'impression qu'en analysant le problème et les nouvelles idées qu'il a sucitées, nous comprenons ce qui se passe. C'est là le but de tout homme de science : arriver à comprendre ce qui se passe dans le sujet qu'il étudie. "
Jean Dieudonné, exposé Mathématiques vides et significatives, dans Penser les mathématiques (1982).
" H comme Homotopie : terme mathématique longtemps réservé à la seule opération de déformation continue d'espaces topologiques, il est plus actuellement devenu la dénomination commune d'une repensée de l'algèbre. Tout au long du xxème siècle sont apparus de nouvelles notions d'identification d'objets mathématiques différentes de l'isomorphie (équivalence faible, inversibilité homotopique, quasi-isomorphisme, etc.) élargissant celle originale de la topologie et dont le contexte théorique général est celui des catégories de modèles. Autrement dit, il est reconnu maintenant que les objets mathématiques ont souvent des processus non triviaux d'identification sous-jacent à leur définition et la relaxe de ces processus conduit à les considérer naturellement comme les objets d'infinies-catégories. "
Abécédaire du Pendule.
" Les jugements mathématiques sont tous synthétiques. Cette proposition semble avoir échappée jusqu'ici aux observations des analystes de la raison humaine et parait même exactement contraire à leurs conjectures, bien qu'elle soit incontestablement certaine et de conséquences très importantes. De ce qu'on trouvait, en effet, que les raisonnements des mathématiciens procèdent tous suivant le principe de contradiction [...] on se persuadait que les principes étaient connus aussi en vertu du principe de contradiction ; en quoi ces analystes se trompaient, car une proposition synthétique peut, sans doute, être envisagé suivant le principe de contradiction, mais seulement à condition que soit supposée une autre proposition synthétique, dont elle puisse être déduite, mais jamais en elle-même. "
Emmanuel Kant, Introduction à la Critique de la raison pure (1781).
" La recherche de la vérité doit être le but de notre activité ; c'est la seule fin qui soit digne d'elle. "
Henri Poincaré, introduction à La valeur de la science (1908).